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Teorema di Pitagora: definizione, spiegazione, formula e dimostrazione
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Teorema di Pitagora: definizione, spiegazione, formula e dimostrazione

Di Maria Rosaria Santovito
pubblicato il 17 novembre

Teorema di Pitagora: nonostante sia l’argomento di trigonometria più famoso, non sai la formula e come svolgere gli esercizi? Scoprilo in questa guida!

Teorema di Pitagora: definizione, spiegazione, formula e dimostrazione

Teorema di Pitagora: dall’enunciato alla dimostrazione facile

In questo articolo troverai l’enunciato e le formule del famoso Teorema di Pitagora. E’ importante che tu conosca e sappia usare bene il Teorema di Pitagora in quanto è fondamentale per lo studio della geometria, della geometria sul piano cartesiano e della trigonometria. Nonostante sia un argomento molto studiato a scuola, è possibile che tu non abbia ben capito come si applica, quale sia la formula e come risolvere esercizi e problemi in cui devi applicare il Teorema di Pitagora. Pronto per scoprire tutto sul Teorema di Pitagora? La matematica non sarà più un problema: vediamo insieme formule, enunciati e dimostrazioni del Teorema di Pitagora!

Teorema di Pitagora: cosa imparerai oggi

Dopo la lettura dei paragrafi seguenti sarai in grado di dire quando si può applicare il Teorema di Pitagora e di usare le formule che derivano da questo importante teorema.

Cosa devi sapere:

Suggerimento:

  • procurati dei fogli a quadretti e durante la lettura prova a riprodurre i disegni geometrici che trovi di seguito e scrivi anche le formule presenti.

 

teorema di pitagora 14

 

Teorema di Pitagora: cos’è e perché si chiama così

Il Teorema è stato studiato secoli e secoli prima della nascita del filosofo Pitagora! Il primo enunciato del Teorema è stato trovato su una tavoletta babilonese risalente addirittura al 1900-1600 avanti Cristo. Pitagora, che è vissuto tra il 560-480 avanti Cristo, è stato però il primo ad aver dato dimostrato il teorema, che ha preso quindi il suo nome.

Il Teorema di Pitagora si applica solo ai triangoli rettangoli, ossia a quei triangoli dove uno degli angoli è un angolo retto (misura cioè 90°).

Dimostrazione facile del Teorema di Pitagora

Consideriamo il triangolo rettangolo ABC, dove l’angolo è un angolo retto.

teorema di pitagora primo

In un qualsiasi triangolo rettangolo il lato di fronte l’angolo retto viene detto ipotenusa, ed è il lato più lungo del triangolo, mentre gli altri due lati sono detti cateti. Nel caso del nostro triangolo ABC il lato BC è l’ipotenusa e i lati AC e AB e sono i cateti.

Teorema di Pitagora: definizione e formula

Il Teorema di Pitagora dice che (enunciato 1):

la somma delle lunghezze al quadrato dei cateti è uguale al quadrato della lunghezza dell’ipotenusa

Applicando il teorema di Pitagora al nostro triangolo abbiamo che:

teorema di pitagora 1

Se supponiamo che nel nostro triangolo l’ipotenusa BC abbia una lunghezza pari ad a, il cateto AC uguale a b ed il cateto AB uguale a c, cioè

 teorema di pitagora 2

abbiamo che la formula del Teorema di Pitagora diventa (sostituendo i valori delle lunghezze dei lati del triangolo):

teorema di pitagora 3

Conseguenze del Teorema di Pitagora

La formula del Teorema di Pitagora ci permette di calcolare la lunghezza di un lato di un triangolo rettangolo noti gli altri due.

Facciamo degli esempi.

Esempio 1 – Supponiamo che per il nostro triangolo siano note le lunghezze dei cateti e vogliamo calcolare la lunghezza dell’ipotenusa che non è nota, ossia:

teorema di pitagora 4

Applicando la formula del Teorema di Pitagora abbiamo che:

teorema di pitagora 5

Osserviamo che la formula del Teorema di Pitagora ci permette di calcolare il quadrato dell’ipotenusa. Per ottenere la lunghezza dell’ipotenusa è necessario calcolare la radice quadrata, ossia:

teorema di pitagora 6

Note le lunghezze dei due cateti, applicando il Teorema di Pitagora abbiamo calcolato la lunghezza dell’ipotenusa.

Esempio 2 – Supponiamo che per il nostro triangolo siano note la lunghezza di un cateto e dell’ipotenusa: vogliamo calcolare la lunghezza dell’altro cateto, ossia:

teorema di pitagora 7

Applicando la formula del Teorema di Pitagora abbiamo che:

teorema di pitagora 8

 

 

 

Sottraendo AC da ambo i membri della formula precedente, abbiamo che:

teorema di pitagora 9

teorema di pitagora 10

teorema di pitagora 11

Sostituendo i valori delle lunghezze dei lati del triangolo, otteniamo:

teorema di pitagora 12

da cui

teorema di pitagora 13

Nota la lunghezza di un cateto e dell’ipotenusa, applicando il Teorema di Pitagora abbiamo calcolato la lunghezza dell’altro cateto.

Teorema di Pitagora: approfondimento ed enunciato 2

Il Teorema di Pitagora è noto anche con il seguente enunciato (enunciato 2):

la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti è uguale all’area del quadrato costruito sull’ipotenusa.

teorema di pitagora 14

L’enunciato 1 e l’enunciato 2 esprimono lo stesso concetto: l’enunciato 2 però è legato alla dimostrazione del teorema fatta da Pitagora (che qui non affrontiamo).

  • Osservazione 1: I vertici di un qualsiasi poligono (compresi i triangoli) sono sempre indicati con le lettere maiuscole.
  • Osservazione 2: E’ bene indicare sempre la posizione dell’angolo retto in un triangolo rettangolo.

Teorema di Pitagora: riepilogo

Il Teorema di Pitagora è valido solo per i triangoli rettangoli e la sua formula ci permette di calcolare la lunghezza di un lato di un triangolo rettangolo noti gli altri due.

Maria Rosaria Santovito
Sono una ricercatrice aerospaziale e mi sono laureata alcune ere geologiche fa in fisica. Mi sono occupata per lavoro, ma soprattutto seguendo la mia innata curiosità, di vari aspetti di questa materia, sia teorici che applicativi, utilizzando ovviamente sempre la matematica. Ho deciso di scrivere su ScuolaZoo per dimostrare che la matematica è davvero per tutti (bastano impegno, curiosità e tenacia per capire che non c'è alcun motivo per avere paura di questa materia!) Riuscirò nell’impresa?!? Io dico di sì….e voi?!? Mandatemi pure feedback, suggerimenti e vedrete che i brutti voti in matematica saranno solo un ricordo!
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